CIRCUITO DE CORRENTE ALTERNADA
INTRODUÇÃO
As correntes e tensões na maioria dos circuitos não são estacionárias, possuindo uma variação com o tempo. A forma mais simples da variação temporal de tensão (corrente) com o tempo é a forma senoidal, a qual é representada por: V = Vp sen ( ω t ) Onde: Vp é a amplitude da tensão. ω é a freqüência angular do sinal. Nesta prática, estudaremos circuitos de corrente alternada e introduziremos a notação complexa para análise dos mesmos. Em particular, estudaremos as curvas de tensão versus corrente para resistores, indutores e capacitores submetidos a tensões alternadas. Estudaremos também os circuitos RC e RL e sua utilização como filtros de freqüências.
CIRCUITO DE CORRENTE ALTERNADA
Na prática, é impossível obter circuitos de corrente alternada com características puramente resistivas, indutivas ou capacitivas. Mesmo assim é didáctico tratar esses casos ideais, para se ter uma ideia de seu comportamento. Neste caso, o tratamento pode ser feito através de equações diferenciais simples. As características previstas individualmente são mantidas quando tratarmos de circuitos que contenham combinações desses elementos.
a) Circuito Puramente Resistivo
Agora vamos estudar um resistor submetido a uma fonte de tensão alternada da forma V = Vo cos(ωt δ ) .
Esquema eléctrico de um circuito puramente resistivo.
A corrente que flui através do resistor pode ser calculada utilizando-se a lei de Ohm:
I V Vo cos(ω t δ ) I cos(ω t δ )
o
R R
Neste caso, observamos que tensão e corrente variam cossenoidalmente no tempo, e não existe diferença de fase entre ambas. A amplitude da corrente, Io, é dada simplesmente por Vo / R. A potência instantânea dissipada no resistor é dada por:
P VI − CVo 2 cos(ω t δ ).sin(ω t δ )
O valor médio da potência dissipada em um ou mais períodos completos
1 T 2 2
P ∫ Vo cos2 (ωt δ )dt 1 Vo
med T R 2 R
o
Na equação 4, T representa um ou mais períodos completos. Vemos dessa equação que a potência média é diferente de zero para qualquer valor ω, isto é, independentemente da freqüência um resistor sempre dissipa a mesma potência eléctrica em um circuito onde tensão e corrente variam no tempo.
A impedância do circuito, em módulo, é dada pela razão entres os valores de pico da tensão (Vo) e da corrente (Io):
Vo
Z R
I o
Portanto, neste caso a impedância é simplesmente a resistência do circuito.
b) Circuito Puramente Capacitivo:
Na figura 2 mostramos um capacitor submetido a uma diferença de potencial V da forma V = Vo cos(ω t δ ) . A carga acumulada no capacitor é Q = Qo cos(ω t δ ) , onde Qo = CVo.
I
+ +
δ ~ C Q
-
-
Esquema eléctrico de um circuito puramente capacitivo.
A corrente I que flui através do circuito pode ser calculada da seguinte forma:
I dQ −ω CV sin(ω t δ ) I cos(ω t δ π / 2)
o
dt o
Neste caso, observamos que tensão e corrente variam no tempo, mas estão fora de fase por um ângulo de 90º (π/2 rad). Em um circuito puramente capacitivo a corrente é adiantada em relação à tensão (ou seja, o pico de corrente ocorre antes do pico de tensão) e tem amplitude dada por Io = ωCVo. Note que esse comportamento é de fato esperado, pois assim que o capacitor descarregado é ligado no circuito a corrente é máxima e a tensão é mínima (pois o capacitor está descarregado) e à medida que o tempo passa a corrente diminui e a tensão aumenta (a carga vai se acumulando nas placas do capacitor) e depois de um certo tempo a corrente é zero e a tensão é máxima (capacitor carregado). A potência dissipada neste circuito é dada por:
P VI − CVo 2 cos(ω t δ ).sin(ω t δ )
A potência média é:
1 T 1 1 T
∫sin(ωt δ ) cos(ωt δ )dt ∫sin(2ωt 2δ )dt 0
Pmed CVo2 2 CVo2
T T
o o
A potência média dissipada em um circuito puramente capacitivo é sempre nula, para qualquer valor de ω. Em outras palavras, um capacitor não dissipa potência; ele armazena energia (em forma de energia electrostática) durante uma parte do ciclo para fornecê-la durante a outra parte, de modo que o fluxo médio é nulo.
A impedância do circuito, em módulo, é dada pela razão entre os valores máximos de tensão (Vo) e de corrente (Io), ou seja:
Z X Vo 1
C ωC
I o
A impedância capacitiva (ou reactância capacitiva) é inversamente proporcional à frequência da tensão alternada. No limite de tensão contínua, vai a infinito, o que significa que não há corrente. De fato, quando um capacitor é ligado a uma fonte de tensão contínua, ele se carrega (usualmente de forma rápida) até a tensão da fonte e a corrente deixa de circular.
c) Circuito Puramente Indutivo:
Na figura 3 mostramos um indutor submetido a uma força eletromotriz V da forma V = Vo cos(ωt + δ ) . A diferença de potencial sobre um indutor pode ser escrita como:
V L dI V cos(ωt δ )
dt o
I
+
δ ~+ L
-
-
Esquema eléctrico de um circuito puramente indutivo.
A corrente I que flui através do circuito pode ser calculada da seguinte forma:
Vo Vo (10)
I cos(ωt δ )dt sin(ωt δ ) C I cos(ωt δ − π ) C
L ∫ o
ωL
CONCLUSÃO
Depois da pesquisa feita cheguei a conclusão de que na análise de circuitos de corrente alternada, é bastante útil usar o formalismo da impedância complexa, que usa as propriedades das exponenciais imaginárias para simplificar a análise de problemas que envolvem valores (tensões e correntes) que variam senoidalmente. A grande vantagem é que as equações diferenciais lineares transformam-se facilmente em equações ordinárias. Em todos os casos, o valor de fato das tensões e correntes (valor que pode ser medido em um experimento) é a parte real do número complexo.
As correntes e tensões na maioria dos circuitos não são estacionárias, possuindo uma variação com o tempo. A forma mais simples da variação temporal de tensão (corrente) com o tempo é a forma senoidal, a qual é representada por: V = Vp sen ( ω t ) Onde: Vp é a amplitude da tensão. ω é a freqüência angular do sinal. Nesta prática, estudaremos circuitos de corrente alternada e introduziremos a notação complexa para análise dos mesmos. Em particular, estudaremos as curvas de tensão versus corrente para resistores, indutores e capacitores submetidos a tensões alternadas. Estudaremos também os circuitos RC e RL e sua utilização como filtros de freqüências.
CIRCUITO DE CORRENTE ALTERNADA
Na prática, é impossível obter circuitos de corrente alternada com características puramente resistivas, indutivas ou capacitivas. Mesmo assim é didáctico tratar esses casos ideais, para se ter uma ideia de seu comportamento. Neste caso, o tratamento pode ser feito através de equações diferenciais simples. As características previstas individualmente são mantidas quando tratarmos de circuitos que contenham combinações desses elementos.
a) Circuito Puramente Resistivo
Agora vamos estudar um resistor submetido a uma fonte de tensão alternada da forma V = Vo cos(ωt δ ) .
Esquema eléctrico de um circuito puramente resistivo.
A corrente que flui através do resistor pode ser calculada utilizando-se a lei de Ohm:
I V Vo cos(ω t δ ) I cos(ω t δ )
o
R R
Neste caso, observamos que tensão e corrente variam cossenoidalmente no tempo, e não existe diferença de fase entre ambas. A amplitude da corrente, Io, é dada simplesmente por Vo / R. A potência instantânea dissipada no resistor é dada por:
P VI − CVo 2 cos(ω t δ ).sin(ω t δ )
O valor médio da potência dissipada em um ou mais períodos completos
1 T 2 2
P ∫ Vo cos2 (ωt δ )dt 1 Vo
med T R 2 R
o
Na equação 4, T representa um ou mais períodos completos. Vemos dessa equação que a potência média é diferente de zero para qualquer valor ω, isto é, independentemente da freqüência um resistor sempre dissipa a mesma potência eléctrica em um circuito onde tensão e corrente variam no tempo.
A impedância do circuito, em módulo, é dada pela razão entres os valores de pico da tensão (Vo) e da corrente (Io):
Vo
Z R
I o
Portanto, neste caso a impedância é simplesmente a resistência do circuito.
b) Circuito Puramente Capacitivo:
Na figura 2 mostramos um capacitor submetido a uma diferença de potencial V da forma V = Vo cos(ω t δ ) . A carga acumulada no capacitor é Q = Qo cos(ω t δ ) , onde Qo = CVo.
I
+ +
δ ~ C Q
-
-
Esquema eléctrico de um circuito puramente capacitivo.
A corrente I que flui através do circuito pode ser calculada da seguinte forma:
I dQ −ω CV sin(ω t δ ) I cos(ω t δ π / 2)
o
dt o
Neste caso, observamos que tensão e corrente variam no tempo, mas estão fora de fase por um ângulo de 90º (π/2 rad). Em um circuito puramente capacitivo a corrente é adiantada em relação à tensão (ou seja, o pico de corrente ocorre antes do pico de tensão) e tem amplitude dada por Io = ωCVo. Note que esse comportamento é de fato esperado, pois assim que o capacitor descarregado é ligado no circuito a corrente é máxima e a tensão é mínima (pois o capacitor está descarregado) e à medida que o tempo passa a corrente diminui e a tensão aumenta (a carga vai se acumulando nas placas do capacitor) e depois de um certo tempo a corrente é zero e a tensão é máxima (capacitor carregado). A potência dissipada neste circuito é dada por:
P VI − CVo 2 cos(ω t δ ).sin(ω t δ )
A potência média é:
1 T 1 1 T
∫sin(ωt δ ) cos(ωt δ )dt ∫sin(2ωt 2δ )dt 0
Pmed CVo2 2 CVo2
T T
o o
A potência média dissipada em um circuito puramente capacitivo é sempre nula, para qualquer valor de ω. Em outras palavras, um capacitor não dissipa potência; ele armazena energia (em forma de energia electrostática) durante uma parte do ciclo para fornecê-la durante a outra parte, de modo que o fluxo médio é nulo.
A impedância do circuito, em módulo, é dada pela razão entre os valores máximos de tensão (Vo) e de corrente (Io), ou seja:
Z X Vo 1
C ωC
I o
A impedância capacitiva (ou reactância capacitiva) é inversamente proporcional à frequência da tensão alternada. No limite de tensão contínua, vai a infinito, o que significa que não há corrente. De fato, quando um capacitor é ligado a uma fonte de tensão contínua, ele se carrega (usualmente de forma rápida) até a tensão da fonte e a corrente deixa de circular.
c) Circuito Puramente Indutivo:
Na figura 3 mostramos um indutor submetido a uma força eletromotriz V da forma V = Vo cos(ωt + δ ) . A diferença de potencial sobre um indutor pode ser escrita como:
V L dI V cos(ωt δ )
dt o
I
+
δ ~+ L
-
-
Esquema eléctrico de um circuito puramente indutivo.
A corrente I que flui através do circuito pode ser calculada da seguinte forma:
Vo Vo (10)
I cos(ωt δ )dt sin(ωt δ ) C I cos(ωt δ − π ) C
L ∫ o
ωL
CONCLUSÃO
Depois da pesquisa feita cheguei a conclusão de que na análise de circuitos de corrente alternada, é bastante útil usar o formalismo da impedância complexa, que usa as propriedades das exponenciais imaginárias para simplificar a análise de problemas que envolvem valores (tensões e correntes) que variam senoidalmente. A grande vantagem é que as equações diferenciais lineares transformam-se facilmente em equações ordinárias. Em todos os casos, o valor de fato das tensões e correntes (valor que pode ser medido em um experimento) é a parte real do número complexo.