Conjuntos numéricos e a história


Conjuntos numéricos e a história - Introdução:


"O que são e quais são os conjuntos numéricos?" Com certeza esta pergunta não traria nenhum problema em sua resposta, que seria imediata. Mas, se mudássemos para: "Quais as aplicações dos conjuntos numéricos no dia - a - dia?" Agora nossa pergunta não seria respondida de uma forma tão direta, pois infelizmente quando aprendemos e até quando ensinamos conjuntos numéricos, dificilmente vemos a sua aplicação, a sua utilização, tornando muitos conteúdos extremamente artificiais. Como professores de Matemática, nossa maior preocupação é mostrar que Matemática não é só cálculo, mas também o desenvolvimento do raciocínio através de situações cotidianas.

Iniciamos com o Conjunto dos Números Naturais, onde por volta de 4000 antes de Cristo, algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens dos rios transformavam-se em cidades. A vida ia ficando mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças, sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso, algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, comerciantes e administradores. Como conseqüência desse desenvolvimento, surgiu a escrita, dando o início da História.

Os egípcios usavam símbolos para representar números, que indicavam quantidades. Assim, partindo dessa necessidade, se passou a representar quantidades através de símbolos, que no caso dos números naturais, vieram com a finalidade de contagem.
Por volta de 3000 antes de Cristo, um antigo faraó de nome Sesóstrisdecretou:

"... reparte-se o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levar qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandará funcionários examinarem e determinarem por medida, a extensão da perda." 
O rio Nilo atravessava uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo subiam muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixavam, deixava descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.

Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizavam os campos, beneficiando a agricultura do Egito, sendo neste vale o grande desenvolvimento da civilização egípcia.
Quando os funcionários eram chamados, levavam consigo cordas de um determinado tamanho. Assim deu-se o surgimento dos números racionais, pois nem sempre as medidas tiradas pela corda eram inteiras, tendo que ser a corda dividida em pedaços iguais, aparecendo as seguintes expressões:uma corda inteira mais metade, e assim sucessivamente. 
Durante muito tempo, os matemáticos acreditavam que qualquer problema prático poderia ser resolvido operando somente com números naturais e fracionários. Não sentiam necessidade de nenhum outro tipo de número.

Por volta de 530 antes de Cristo, existia na Grécia uma espécie de sociedade secreta, cujos membros ficaram conhecidos com o nome de pitagóricos. Eram assim chamados porque o mestre da sociedade era o famoso filósofo e matemático Pitágoras de Samos. Os Pitagóricos eram grandes estudiosos da Matemática, mas não tinham a menor preocupação em obter resultados práticos.

Pitágoras dizia que tudo era número, ou seja, que qualquer fato da natureza podia ser explicado por meio dos números naturais.
Lidando com números de várias maneiras, os pitagóricos acabaram descobrindo propriedades interessantes e curiosas. Segundo Pitágoras, dependendo da soma de seus fatores, um número poderia ser perfeito, deficiente ou excessivo, dando início ao famoso teorema de Pitágoras e, assim, aos números irracionais.

Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna, os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações. Era o grande desenvolvimento do comércio e das cidades. A expansão da atividade comercial fez com que os europeus procurassem novas terras, nas quais encontrassem novas mercadorias para vender na Europa. Paralelamente a essas mudanças econômicas, políticas e sociais houve o florescimento da arte, da cultura e das ciências. Essa revolução cultural ficou conhecida como Renascimento.

Em meio a essas grandes mudanças, a Matemática e em geral as Ciências Naturais também se desenvolveram.
A partir do Renascimento o conceito de número evoluiu muito. Pouco a pouco, o número foi deixando de ser associado somente à prática pura e simples do cálculo. O grande desenvolvimento científico da época do Renascimento exigia uma linguagem matemática que pudesse expressar também os fenômenos naturais que estavam sendo estudados. Até então, já se conheciam os números naturais, fracionários e os irracionais, que os matemáticos chamavam de números reais.

Cada vez mais era sentida a necessidade de um novo número para enfrentar os problemas colocados pelo desenvolvimento científico do Renascimento. Discutia-se muito sobre esse novo número. Mas ele era tão difícil de enquadrar-se nos números já conhecidos que os matemáticos o chamavam de número absurdo, porém os chineses já entendiam que o número poderia ser compreendido por excessos ou faltas, utilizando palitos na resolução de problemas. Também os matemáticos da Índia trabalhavam com esses "números estranhos".

O grande matemático Brahmagupta, nascido em 598, dizia que os números podiam ser entendidos como pertences ou dívidas.
A partir daí, os matemáticos começaram a escolher uma melhor notação para expressar o novo número, que não indicaria apenas quantidade, mas também representasse o ganho ou a perda, surgindo assim o número com sinal, positivo ou negativo, conhecido com número inteiro.

Com base nos estudos desenvolvidos pelos matemáticos da época, surge o Conjunto dos Números Reais, onde todos os números vistos acima fazem parte, ou seja, todo número natural, racional, irracional e inteiro, é também um número real.
Por volta de 1500, o pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: “O quadrado de um número positivo, bem o como de um número negativo, é positivo”. Não existe raiz quadrada de um número negativo. 
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: " Divida 10 em duas partes de modo que seu produto seja igual a 40".
Esse problema, dizia ele, era manifestamente impossível, mas mesmo assim, tinha com solução: 
5 + √+15 e 5 - √-15 Concluiu, porém, que essas expressões eram "verdadeiramente sofísticas e sua manipulação inútil". Cardano já havia deparado com essas raízes ao resolver equações de terceiro grau, que resultaram no resultado:
x = ∛2+√-121+∛2-√-121, se vendo diante de um dilema; sabia ele que√-121 não existia, mas por outro lado, que 4 era a solução. Cardano não encontrou explicação, tendo como mérito chamar atenção para o problema.

O passo seguinte foi dado por Bombelli, em 1560. Observando a equação acima, ocorreu-lhe que talvez as duas raízes cúbicas fossem expressas do tipo P+√-q e p- √-q e que essas, somadas da maneira usual, dessem 4. O próprio Bombelli achou sua idéia louca, e foi a partir dela que conseguiu provar que as raízes cúbicas encontradas por Cardano, realmente somadas resultavam 4.

As raízes quadradas de números negativos continuaram aparecendo no século XVI, XVII e XVII, perturbando ainda mais os matemáticos. O mal estar que esses símbolos provocavam está nos nomes que lhe foram atribuídos: "impossíveis", "místicos", "fictícios" e "imaginários".
Foi uma publicação de Gauss, em 1831, que mudou totalmente esse quadro, chamando esses números de números complexos. O pensamento de Gauss consistia em olhar para os números a e b do símbolo a + b √-1como coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, dando uma representação geométrica visível.

Bastou isso para que a existência dos números complexos ficasse definitivamente estabelecida.
Toda esta história e muitas outras com exercícios estão disponíveis para download na seção apostilas para downloads. Confira.

Fonte: http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/conjun.html

Letícia Paviani
Taís Cristina de Souza
Universidade de Caxias do Sul
Licenciatura Plena em Matemática

 Bibliografia:

BOYER, Carl B. História da Matemática, Editora Edgard Blucher Ltda, 2a Edição
CARNEIRO, Lucinei. História da Matemática, site:http://www.start.com.br/matemática
DANYLUK, OcsanaS. Alfabetização Matemática, EDUCS, 3a Edição
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática, Volumes 1 e 4, Editora Ática
IFRAH, Georges.Os Números, A História de uma Grande Invenção, Editora Globo