Álgebra linear

Álgebra linear/Sistemas de equações lineares

Este estudo de álgebra linear começará com a análise dos sistemas de equações lineares. Tais sistemas aparecem frequentemente em matemática aplicada, economia e engenharia ao modelar certos fenômenos. Por exemplo, em programação linear, geralmente é discutido como maximizar o lucro quando existem certas restrições relacionadas a dificuldade, disponibilidade de tempo, ou outras condições. Estas restrições podem ser colocadas na forma de um sistema de equações lineares.

Sistema de equações lineares

Mesmo que o leitor já tenha estudado o conteúdo deste capítulo, é interessante fazer uma leitura deste módulo para relembrar os principais conceitos e definições, além de se familiarizar com as notações que serão utilizadas neste wikilivro. O assunto será retomado posteriormente, quando for tratada a relação entre matrizes e sistemas lineares, no capítulo "eliminação gaussiana".

Índice

• 1 Equações lineares
• 2 Soluções de uma equação linear
• 3 Sistemas de equações lineares
• 4 Soluções de sistemas lineares
• 5 Sistemas lineares equivalentes
• 6 Operações com equações
• 6.1 Demonstração
• 7 Métodos para a resolução de sistemas lineares
• 7.1 Eliminação de variáveis
• 8 Exercícios

Equações lineares

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Equação linear

Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável.

Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis podem ser números inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral (veja, por exemplo, um artigo sobre "corpos" na Wikipédia). No caso dos números inteiros, chama-se a equação de "equação linear diofantina", e seu estudo é feito na teoria de números.

Neste Wikilivro, será considerado que as constantes e as variáveis de uma equação linear são elementos de um subcorpo do corpo dos números complexos. Os elementos de serão chamados de escalares. Para a maior parte do texto, o leitor não familiarizado com corpos e outras estruturas algébricas pode admitir que os escalares são os números complexos.

Sugestões de leitura Para uma breve discussão sobre o uso de outros tipos de escalares no contexto da álgebra linear, recomenda-se a leitura da primeira seção do capítulo sobre equações lineares no livro "Linear Algebra", de Hoffman & Kunze. Se quiser saber mais sobre corpos e outras estruturas algébricas, será interessante consultar um livro específico de Álgebra. (Veja exemplos na bibliografia)

Uma caracterização mais formal do que se entende por "equação linear" é a seguinte:

Definição

Uma equação linear em variáveis sobre o corpo é uma equação que pode ser colocada na forma , sendo que os escalares são denominados coeficientes, e é chamado de termo independente, ou termo constante.

Cada equação linear pode ser vista como uma igualdade entre zero e um polinômio do primeiro grau em várias variáveis, uma vez que:

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Exemplos: Nesta equação, as variáveis são e , e o termo constante é . Aqui, aparece uma equação que não está na "forma padrão". Pode-se reescrevê-la como . Neste último exemplo aparece apenas a variável , com coeficiente . O termo constante é .

Como foi ressaltado no exemplo, para uma equação ser chamada de "linear", ela não precisa necessariamente estar com todas as variáveis no membro esquerdo da equação, embora seja usual escrevê-la assim. Como será visto posteriormente, usando essa convenção é possível simplificar a resolução de sistemas de equações lineares (veja adiante), introduzindo o conceito de matriz.

Soluções de uma equação linear

Definição

Uma solução da equação linear é uma -upla (um vetor) , cujas entradas podem ser colocadas no lugar de cada , para , de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação linear é aquele formado por todas as suas soluções.

Por exemplo, é uma solução da equação linear , uma vez que , mas não.

No caso em que a quantidade de variáveis em uma equação linear é menor ou igual a três, pode-se associar ao seu conjunto solução, uma interpretação geométrica. Acompanhe os exemplos a seguir:

Representação gráfica de duas equações lineares

Se é igual a 2, a equação linear tem como correspondente geométrico uma linha reta. Por exemplo: pode ser representada pela reta que passa pelos pontos e . corresponde a reta que contém os pontos e . Observe que o ponto também está na reta dada pela primeira equação (veja a figura). Se for 3, o conjunto solução é representado geometricamente como um plano no espaço tridimensional. Por exemplo: Os pontos que são soluções da equação linear estão todos sobre o plano definido por , e .

Pode-se generalizar a relação entre equações lineares e geometria para o caso em se tem um número arbitrário de variáveis. No entanto, nessa situação não é possível visualizar a "forma geométrica" que corresponde às soluções da equação. O termo utilizado para descrever a forma geométrica correspondente ao conjunto solução de uma equação a variáveis é hiperplano afim, de dimensão . Neste texto, no entanto, será usado simplesmente a terminologia -plano.

Sistemas de equações lineares

Definição

Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis.

Um sistema geral de equações lineares com incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito como

Aqui, são as incógnitas, são os coeficientes do sistema, e são os termos constantes.

A "chave" colocada à esquerda das equações é uma forma de lembrar que todas as equações devem ser consideradas em conjunto. A seguir são apresentados alguns exemplos de equações lineares.

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Exemplos: é um sistema de três equações, nas variáveis e . é um sistema de três equações e duas variáveis e . é um sistema linear formado por uma única equação e três variáveis e .

Soluções de sistemas lineares

Definição

Uma solução de um sistema linear é uma -upla de valores que simultâneamente satisfazem todas as equações do sistema.

Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um plano. Uma solução do sistema corresponde a um ponto na interseção desses planos

Exemplo: Considere os sistemas de equações lineares apresentados acima. tem como sua solução . não tem qualquer solução, pois não existem números e cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula. , embora seja formado por uma única equação linear, admite uma infinidade de soluções, todas da forma .

A coleção de todas as possíveis soluções de um sistema linear será chamada de conjunto solução, sendo geralmente denotado por . Uma fórmula que descreva todos os vetores do conjunto solução é chamada de solução geral. Dessa definição, decorre que o conjunto solução de um sistema linear é a interseção entre os conjuntos soluções de cada equação do sistema (veja a figura).

Um sistema linear é dito consistente se possui alguma solução. Caso contrário, é chamado de inconsistente.

Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções:

• Uma única solução: Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa -upla). O conjunto tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os -planos determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do espaço, que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da -upla). O sistema é dito possível (existe alguma solução) e determinado (existe uma única solução);
• Nenhuma solução: Nesta situação, não existe qualquer -upla de valores que verifiquem simultaneamente todas as equações do sistema. O conjunto é vazio. Geometricamente, os -planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito impossível (não existe solução).
• Infinitas soluções: As equações especificam -planos cuja intersecção é um -plano onde . Sendo este o caso, é possível explicitar um conjunto com infinitas soluções. O sistema é dito possível (existe alguma solução) e indeterminado (sua quantidade é infinita)

As seguintes figuras ilustram os casos acima:

Uma única solução	Nenhuma solução	Infinitas soluções

Sistemas lineares equivalentes

Definição

Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Exemplos: Considere o seguinte sistema linear: (I) Obviamente, existe um único par ordenado que é solução de tal sistema. Seu conjunto solução é . Sabendo que a segunda igualdade em (I) vale se, e somente se, é verdade que , pode-se concluir que as soluções do sistema acima são as mesmas do sistema (II) Além disso, todo par ordenado que satisfaz as equações deste último sistema, é também solução de (III) pois, logicamente, não faz diferença a ordem em que as equações aparecem em um sistema. Uma outra equivalência, não tão imediata, é entre o sistema (III) e (IV) Para ter certeza que ambos os sistemas são equivalentes, basta observar que se um par ordenado é solução do primeiro, então suas coordenadas verificam e , por tanto (somando membro a membro), tem-se . Reciprocamente, se safisfaz e , basta subtrair membro a membro, e obtem-se . Finalmente, pode-se facilmente perceber que o sistema anterior é equivalente a (V) pois as soluções da última equação são as mesmas da segunda.

Nos exemplos anteriores, pode-se notar que todos os sistemas possuem o mesmo conjunto solução (são equivalentes), embora no exemplo (V) a solução não esteja "tão evidente" como no caso de (I).

Isso sugere uma estratégia para resolver sistemas lineares: para determinar o conjunto solução de um sistema linear arbitrário (por exemplo (V)), basta encontrar um outro sistema linear que lhe seja equivalente, mas cuja solução seja imediata (como o (I), cuja solução é óbvia!).

Resta agora encontrar uma forma de produzir sistemas lineares equivalentes a um sistema dado, e que sejam simples (senão imediatos!) de resolver. As técnicas usadas para este fim serão apresentadas na próxima seção.

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Pense rápido... Parte superior do formulário 1. Se dois sistemas são equivalentes, é preciso que cada equação do primeiro seja equivalente a uma equação do segundo? Sim Não Depende dos sistemas em questão. 2. É possível que dois sistemas sejam equivalentes sem que tenham o mesmo número de equações? Sim Não Parte inferior do formulário

Operações com equações

Para um melhor entendimento das técnicas que podem ser utilizadas na resolução de sistemas lineares, serão sintetizadas no teorema a seguir as "operações" que podem ser feitas com as equações de um sistema, sem que seu conjunto solução seja alterado. Como será visto posteriormente, é possível determinar o conjunto solução de qualquer sistema linear (resolver o sistema), usando apenas três "operações elementares".

Teorema

Se um sistema linear é obtido a partir de outro, através de uma dessas operações

1. Trocar a posição de duas equações;
2. Trocar uma equação por um múltiplo (não nulo) de si mesma;
3. Trocar uma equação pela soma de si mesma com um múltiplo de outra equação;

então ele possui as mesmas soluções que o sistema original.

Demonstração

• Deixada a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para acrescentá-la ao texto.

Métodos para a resolução de sistemas lineares

Eliminação de variáveis

Um método bastante simples para a resolução de um sistema linear é eliminar as variáveis, uma após a outra. Este método consiste dos seguintes passos:

1. Na primeira equação, isole uma das variáveis em função das outras.
2. Substitua a expressão acima em cada uma das outras equações. Isso produz um outro sistema de equações, com uma equação a menos e uma variável a menos.
3. Repita o passo anterior até que reste apenas uma equação linear.
4. Resolva esta equação e use a resposta obtida para determinar as demais variáveis nas outras equações.

Por exemplo, se o sistema linear for pode-se resolver a primeira equação em , obtendo e usando essa expressão na segunda e terceira equações, segue: Agora, se a primeira das duas equações for resolvida em , obtem-se , que substituído na última equação fornece: Colocando na segunda equação, tem-se e usando esses valores na primeira equação segue que . Portanto, o conjunto solução deste sistema consiste de um único ponto .

Sugestão de leitura Veja na Wikipédia os artigos sobre o método da soma e a regra de Cramer.

Sabe-se que sistemas lineares em poucas variáveis também podem ser resolvidos usando outros métodos.

Observe, no entanto, que estas técnicas não são muito práticas ao lidar com sistemas grandes, onde exista um grande número de variáveis. Apesar disso, tais procedimentos podem ser generalizados, dando origem a algoritmos como a eliminação de Gauss e a eliminação de Gauss-Jordan, que pode ser usado em situações bem mais gerais.

O método da eliminação gaussiana será estudado em um capítulo posterior.

Muitas vezes é preciso resolver vários sistemas lineares que diferem apenas em seus termos constantes. Os coeficientes das incógnitas permanecem os mesmos. Uma técnica chamada de decomposição LU é usada nestes casos. Em situações muito particulares, ela adminte uma variante conhecida como fatoração de Cholesky. Tais técnicas serão estudadas nos últimos capítulos.