TEOREMA DE PITÁGORAS

INTRODUÇÃO

Este trabalho mostra como funciona o teorema de Pitágoras, desde sua fórmula até como é usado para calcular as áreas dos triângulos retângulos e também alguns exemplos de como se pode ser aplicado no nosso dia-a-dia, além de algumas demonstrações de como ele poderia ter descoberto este detalhe matemático que revolucionou as ciências que ajudaram no desenvolvimento do mundo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.

Figura mostrando o teorema de Pitágoras

Como podemos ver na imagem, o triângulo retângulo é formado pelos lados a,b,c,onde a,b são os catetos e c é a hipotenusa.

Ao fazer quadrados em cada lado do triângulo retângulo, Pitágoras acabou descobrindo que o quadrado feito na hipotenusa sempre será a soma dos quadrados feitos nos catetos.

Figura mostrando que a soma dos quadrados dos catetos será o quadrado da hipotenusa

3.0 A FÓRMULA:

Transformando esta descoberta em uma fórmula matemática, obtemos:

c2=a2+b2

 MANIPULANDO A FÓRMULA

Ao manipular a fórmula original (c2=a2+b2)dentro das normas da matemática, podemos obter as fórmulas:

    

Usando essas fórmulas é possível descobrir qualquer lado do triângulo retângulo desde que tenha dois valores dos lados.

4.0 EXEMPLOS

Uma escada apoiada em uma parede tem sua base distante cerca de 6 metros da parede. Sabendo que a parede mede cerca de 8 metros, determine o comprimento da escada.

x² = 8² + 6² x² = 64 + 36 x² = 100 √x² = √100 x = 10 A escada possui 10 metros de comprimento. 

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²x² = 81 + 144x² = 225√x² = √225x = 15

DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras. O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes. Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides. E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield. O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

DEMONSTRAÇÃO POR COMPARAÇÃO DE ÁREAS

1-Desenha-se um quadrado de lado a + b;

2-Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;

3-Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retângulos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;

4-A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retângulos é igual a a2 + b2;

5-Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retângulos noutra posição.

6-A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retângulos é igual a c2.

Como a2 + b2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c2 representa a mesma área, então a2 + b2 = c2. Ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de catetos.

Figura mostrando como ocorre a demonstração por comparação de áreas

DEMONSTRAÇÃO POR SEMELHANÇÃS DE TRIÂNGULOS

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa,c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também, marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

Figura mostrando como ocorre a demonstração por semelhança de triângulos

DEMONSTRAÇÃO DE BHASKARA

A análise da figura permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:

Figura mostrando a demonstração de Bhaskara

CONCLUSÃO

Concluímos que o teorema de Pitágoras está mais presente na nossa vida do que imaginávamos, já que sua descoberta ajudou a calcular áreas de formas geométricas que antes não se conseguia fazer.

Hoje em dia ainda é usado para calcular áreas e inúmeros são os exemplos onde esta expressão pode ser aplicada.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAShttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

acesso em 27/02/15 às 13:50

http://www.matematicadidatica.com.br/TeoremaDePitagoras.aspx acesso em 27/02/15 às 12:20

http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm acesso em 27/02/15 às 13:10

http://www.infoescola.com/matematica/teorema-de-pitagoras/ acesso em 27/02/15 às 13:30